Photobucket Photobucket Photobucket Photobucket Photobucket Photobucket Photobucket

Senin, 14 November 2011

Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.


Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri.Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Penerapan Trigonometri saat ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik,akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika,survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales.

Trigonometri Dasar


segitiga sikusiku

Dari gambar diatas kita dapat beberapa persamaan dari sudut alpha

SINUS ALPHA sinus

COSINUS ALPHA cosinus

TANGEN ALPHA tangen

Dari Persamaan diatas dapat disimpulkan bahwa : trigonometrisinus = DE-MI



cosinus = SA-MI



tangen = DE-SA


Yang dimaksud Depan, Miring, Samping adalah sisi-sisi segitiga berdasarkan letak sudut.
Dapat dilihat dari gambar segitiga diatas sin alpha adalah sisi di depan sudut alpha dibagi sisi miring segitiga.

Dalam Trigonometri ada sudut sudut istimewa yaitu sudut (derajat) 0, 30, 45, 60, 90
Tabel sin, cos, dan tan sudut istimewa 

Data tabel diatas diambil/didapat dari segitiga dibawah ini : segitiga trigonometrisegitiga trigonometri

Ayo kita buktikan
Kita akan membuktikan sinus 3o sin 30
JADI sin 30

Terbukti kan ?
Sekarang silahkan sobat buktikan sin, cos, dan tan sudut sudut istimewa pada tabel. Apakah benar ??

Sekarang kita akan mengerajakan soal
contoh soal : segitiga sikusiku
Jika c = 120 cm dan alpha = 30 derajat, maka panjang AC sama dengan ?

Jawab : karena yang ditanya adalah panjang AC dan yang diketahui adalah sisi miring dan sudut alpha, maka kita akan menggunakan rumus cosinus.

Klik untuk Melihat jawaban ! 


Hubungan fungsi trigonometri





\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,
1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,
Penjumlahan
\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,

Rumus sudut rangkap dua

\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,


Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,

\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,


Rumus setengah sudut


\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,
\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,
\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,
SELISIH DUA SUDUT (a - b) sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin bcos(a - b) = cos a cos b + sin a sin btg(a - b )   = tg a - tg b                          1 + tg2a 
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b                                2              2 sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b                                 2             2 cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b                                  2              2 cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b                                   2             2  BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN  2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b) PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA Bentuk a cos x + b sin xMerubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a) 
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
dengan :                                   K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ? Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I
II
III
IV
a
+
-
-
+
b
+
+
-
-
keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x


Nilai Trigonometri







Penentuan Nilai positif di setiap Kuadran




Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)